Schwartzruimte

Schwartzruimte, meestal aangeduid als S(R^n), is de ruimte van alle C∞-functies f: R^n → C waarvoor alle afgeleiden van alle orde snel afnemen. Precisiever: voor elk multi-index α en β geldt de semi-norm p_{αβ}(f) = sup_{x∈R^n} |x^β ∂^α f(x)| < ∞. Deze conditie houdt in dat zowel f als al zijn afgeleiden sneller dan elke macht van 1/|x| afnemen bij |x| → ∞. S(R^n) wordt beschouwd als een Frechét ruimte met de familie van semi-normen p_{αβ}.

Eigenschappen: S(R^n) is gesloten onder differentiatie en onder vermenigvuldiging door polynomen. Translatie T_y f(x) = f(x+y) en modulatie f(x)e^{iξ·x} blijven in S, en handelen continu. De Fourier-transformatie F: S(R^n) → S(R^n) is een topologische isomorfisme, met inverse F^{-1}; deze eigenschap geldt eveneens bij de verlenging naar de dualruimte. Het duale geëindigde gedrag leidt tot S'(R^n), de ruimte van getemperde distributies.

Toepassingen en relaties: S(R^n) dient als ruimte van testfuncties voor getemperde distributies en speelt een centrale rol in Fourier-analyse en de theorie van partiële differentiaalvergelijkingen. Het is dicht in L^p(R^n) voor 1 ≤ p < ∞, wat betekent dat elke L^p-functie kan worden benaderd door functies uit S(R^n) in de L^p-norm. Voorbeelden zijn de Gauss-functie e^{−π|x|^2} en al haar afgeleiden, die allemaal tot S(R^n) behoren.