dualruimte

Dualruimte, in linear algebra often called the dualruimte or dual space, is the set of all linear functionals from a vectorruimte V over a veld F to F itself. A function f: V → F is linear if f(av + bw) = a f(v) + b f(w) for all v, w in V and scalars a, b in F. The dualruimte V* becomes a vectorruimte under pointwise addition and scalar multiplication: (f + g)(v) = f(v) + g(v) and (α f)(v) = α f(v).

In de zin van eindimensionale ruimtes: als V een vectorruimte met dimensie n heeft, dan heeft V* ook dimensie n. Bij een basis {v_i} van V bestaat er een bijbehorende duale basis {v^i} in V*, gedefinieerd door v^i(v_j) = δ^i_j. De evaluatiekoppeling ⟨f, v⟩ = f(v) levert een nietdegenerale koppeling tussen V en V*, wat betekent dat elk niet-nul functionaal f een vector v heeft met f(v) ≠ 0.

De dubbelruimte V** wordt gevormd door lineaire functionalen op V*. De natuurlijke evaluatiekaart V → V**, v ↦ φ_v met φ_v(f) = f(v), is altijd een lineaire injectie. Als V eindig dimensioneel is, is deze kaart een isomorfisme, zodat V ≅ V**.

In oneindig dimensionele ruimtes kan V* strictly groter zijn dan V en is er geen canonieke isomorfisme tussen V en V**. Bovendien kan men in functionaalanalyse spreken van de continue dual (topologische dual) afhankelijk van de gebruikte topologie.

Toepassingen van dualruimtes omvatten onder meer het formuleren van duale problemen in optimalisatie, representatie van lineaire functionals, en concepten zoals reflexiviteit en orthogonaliteit met betrekking tot bilineaire vormen.