Greensfunctie

Een Greensfunctie is een wiskundig instrument dat de oplossing van lineaire inhomogene differentiaalproblemen mogelijk maakt door middel van een delta-bron. Voor een lineaire differentiaaloperator L en een domein Ω met randvoorwaarden geldt: L_x G(x, y) = δ(x − y) in Ω, en G(x, y) voldoet in x aan de randvoorwaarden van het probleem. De Greensfunctie fungeert als de kernel van de inverse operator L^{-1}, zodat de oplossing van L u = f met de juiste randvoorwaarden kan worden geschreven als u(x) = ∫Ω G(x, y) f(y) dy. In tijdafhankelijke problemen kan een retarded Greensfunctie de causale oplossing geven.

Veelvoorkomende voorbeelden omvatten Poisson-, Laplace-, Helmholtz- en golfproblemen. Voor Dirichlet- of Neumann-randvoorwaarden geldt doorgaans dat G(x, y) een singulariteit heeft bij x = y en dat G symmetrisch is: G(x, y) = G(y, x) voor veel zelfadjoint operators. Constructie-methoden omvatten onder meer een uitdrukking via eigenfuncties, de methode van beelden voor eenvoudige geometrieën, en boundary-elementmethoden in numerieke toepassingen. In onbegrensde domeinen kan G ook via Fourier-transformaties worden verkregen.

Historisch is de term Greensfunctie verbonden met George Green, die in de 19e eeuw ontwikkelingen op het gebied van potentietheorie introduceerde. Toepassingen spelen een rol in elektrostatica, akoestiek, kwantummechanica, diffusiestromen en warmte- of massa-overdracht, en in numerieke analyses zoals de boundary-elementmethode en in de solid-state physics als lattice Greensfuncties.