Greensfuncties

Greensfuncties zijn oplossingen van een lineaire differentiaaloperator L die de respons van een systeem op een puntbron beschrijven. Voor een domein Ω met passende randvoorwaarden wordt G(x, x') gedefinieerd door L G(x, x') = δ(x − x'), waarbij δ de Dirac-delta is. De randvoorwaarden bepalen welke oplossing geldt.

Als f(x) een inhomogene bron is, kan de oplossing van L u(x) = f(x) met dezelfde randvoorwaarden vaak worden geschreven als u(x) = ∫Ω G(x, x') f(x') dx', mogelijk plus randtermen.

Eigenschappen zijn onder andere lineariteit, reciprocity en, in tijdafhankelijke problemen, causaliteit via retarded of advanced Green's functies.

Constructie kan via spectrale representatie, Fourier- of Laplace-transformaties, of de methode van afbeeldingen. Voor de Laplace-operator in vrije ruimte is G(x, x') = 1/(4π|x − x'|); in gebonden domeinen hangt G af van de randvoorwaarden.

Toepassingen komen voor in elektrostatica, kwantummechanica (propagators), diffusie, akoestiek en elasticiteit; kortom Greensfuncties bieden een algemene manier om lineaire systemen met puntbronnen te analyseren.