differentiaaloperator

Een differentiaaloperator is een lineaire operator die een functie afleidt en combineert met coëfficiënten. Formeel wordt hij gedefinieerd op een open deel Ω van het n-dimensionale Euclidische ruimte en kan hij meerdere variabelen en afgeleiden bevatten. Een differential operator van orde m heeft in coördinaten meestal de representatie

L f(x) = ∑_{|α|≤m} a_α(x) ∂^{α} f(x),

waar α een multi-index is, ∂^{α} f = ∂^{|α|} f/∂x_1^{α_1}… ∂x_n^{α_n}, en de coëfficiënten a_α(x) voldoen aan bepaalde regulariteit (bijvoorbeeld continu of C^∞). De operator is linear en lokaal: de waarde van (L f)(x) hangt af van de waarden van f en zijn afgeleiden bij x.

Voorbeelden zijn in één variabele L f = a(x) f′(x) + b(x) f(x) of L f = a(x) f″(x) + b(x) f′(x) + c(x) f(x). Een bekend voorbeeld in meerdere variabelen is de Laplace-operator Δ = ∑_{i=1}^n ∂^2/∂x_i^2, die een differential operator van orde 2 is.

Differentiële operatoren kunnen coëfficiënten en randvoorwaarden bevatten; wanneer grenzen in het domein Ω aanwezig zijn, treden randvoorwaarden op bij het toepassen van de operator, bijvoorbeeld bij integratie door delen. In de analyse en de natuurkunde spelen differential operatoren een centrale rol bij het modelleren van PDE’s, dynamische systemen en geometrische structuren. Een adjoint operator L^ kan worden gedefinieerd via integratie door delen en hangt af van de randvoorwaarden. In meer abstracte vorm kunnen differential operatoren op modellen manifolds coordinatenonafhankelijk worden gedefinieerd.