priemfactorisatie

Priemfactorisatie is het proces waarbij een positief geheel getal wordt geschreven als product van priemgetallen. Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf.

Volgens het fundamentele theorema van de getaltheorie bestaat elk geheel getal groter dan 1 op unieke wijze uit een product van priemgetallen, waarbij de factoren kunnen voorkomen met machten. De priemfactorisatie van een getal n kan worden geschreven als n = p1^a1 × p2^a2 × ... × pk^ak, waarbij de p_i priemgetallen zijn en de a_i positieve machten.

Een gangbare methode om tot een factorisatie te komen, is proefdeling. Men deelt achtereenvolgens door priemgetallen tot men geen delers meer vindt. Een handig eigenschap is dat men tot de vierkantswortel van het getal hoeft te controleren: als geen priem kleiner dan sqrt(n) deelbaar is, dan is het overgebleven getal zelf een priem. Bijvoorbeeld 360 = 2^3 × 3^2 × 5.

Toepassingen en betekenis: priemfactorisatie helpt bij het vereenvoudigen van breuken, het vinden van de grootste gemene deler en het oplossen van Diophantische vergelijkingen. In de informatica en cryptografie spelen factoren zoals grote priemgetallen een cruciale rol: veel cryptosystemen, zoals RSA, zijn gebaseerd op de moeilijkheid van het ontleden van grote getallen in hun priemfactoren. Het begrip van priemfactorisatie vormt een fundamenteel onderdeel van getaltheorie en wiskundige praktijk.