Diophantische

Diophantische Gleichungen bezeichnet man Gleichungen, deren Unbekannte ganzzahlig sein sollen. Der Begriff geht auf Diophantos von Alexandria zurück, der im 3. Jahrhundert Arithmetica verfasste. Die Diophantische Zahlentheorie untersucht die Existenz, die Verteilung und die Berechenbarkeit ganzer Lösungen zu solchen Gleichungen.

Lineare Diophantine Gleichungen ax + by = c besitzen vollständige Lösungsbeschreibungen: Eine Lösung existiert genau dann, wenn der größte gemeinsame Teiler gcd(a,b) c teilt, und alle Lösungen ergeben sich aus einer Particularlösung plus einem ganzzahligen Parameter. Nichtlineare Diophantine Gleichungen, wie x^2 + y^2 = z^2 oder Pell-Gleichungen x^2 - Dy^2 = 1, erfordern komplexere Techniken und führen oft zu schwierigen, offenen Problemen.

Zu den bekanntesten Fragestellungen zählt Fermats Gleichung a^n + b^n = c^n (n > 2), deren Beweis durch Andrew Wiles im Jahr 1994 einen Meilenstein der Zahlentheorie markiert. Ein zentrales theoretisches Ergebnis ist die Unentscheidbarkeit der Allgemeinlösung von Diophantischen Gleichungen: Der Satz von Matiyasevich (mit Davis, Putnam und Robinson) beweist, dass es keinen Algorithmus gibt, der für jede gegebene Gleichung in Z feststellt, ob sie eine ganzzahlige Lösung besitzt.

Die Diophantische Zahlentheorie ist ein Kerngebiet der Mathematik mit Verbindungen zu Kryptografie, Diophantischer Approximation, elliptischen Kurven und exponentiellen Diophantinen. Bedeutende Themen sind Pell-Gleichungen, Sätze über Summen von zwei Quadraten sowie algorithmische Aspekte der Bestimmbarkeit ganzer Lösungen.