Verzamelingen

Verzamelingen zijn in de wiskunde goed gedefinieerde collecties van objecten, de elementen genoemd, waarbij elk element wel of niet behoort tot de verzameling. De mate waarin twee verzamelingen hetzelfde zijn, wordt bepaald door extensionaliteit: twee verzamelingen zijn gelijk als ze exact dezelfde elementen bevatten. Een verzameling kan eindig of oneindig zijn. De lege verzameling, ∅, bevat geen enkel element.

Notatie en voorbeelden komen in verschillende vormen voor. Een verzameling kan worden opgesomd, bijvoorbeeld {1, 2, 3}, of worden beschreven met een eigenschap, bijvoorbeeld {x | x is een even getal}. Voorbeelden uit de wiskunde zijn de verzameling van natuurlijke getallen N, de gehele getallen Z, en de verzameling van reële getallen R. Verzamelingen kunnen ook oneindig zijn, wat leidt tot verschillende groottes van oneindigheid.

Belangrijke bewerkingen zijn onder andere de vereniging (unie) A ∪ B, de doorsnede A ∩ B, en het verschil A \ B. Een verzameling kan als geheel worden vergeleken met een universele verzameling U via de notatie A ⊆ B. De machtverzameling P(A) bevat alle subverzamelingen van A. Ook de cartesiaanse product A × B vormt een verzameling van paren uit A en B. Cardinaaliteiten geven de grootte van verzamelingen weer, en bij oneindige verzamelingen ontstaan bijzondere concepten zoals telbaarheid en ontelbaarheid.

Grondslagen van verzamelingenleer staan vaak bekend onder axioma’s zoals ZFC (Zermelo-Fraenkel met keuze). Verzamelingen vormen daarmee de bouwstenen van de moderne wiskunde en geven structuur aan talloze wiskundige constructies. Buiten de formele wiskunde verwijst verzamelingen ook naar verzamelde voorwerpen in het dagelijks leven, bijvoorbeeld een collectie postzegels of kunstwerken.