Cardinaaliteiten

Cardinaaliteiten zijn in de wiskunde het maatstelsel dat de grootte van verzamelingen aangeeft. De kardinaliteit van een verzameling A wordt meestal aangeduid met |A|, en verzamelingen met dezelfde kardinaliteit worden equipotent genoemd. Kardinaliteiten geven de omvang van een verzameling aan, los van hoe de elementen zijn gerangschikt of welke structuur ze hebben.

Er bestaat een onderverdeling in eindige en oneindige kardinaliteiten. De kardinaliteit van de natuurlijke getallen N is aleph-null (aleph0). Oneindige kardinaliteiten vormen een onbegrensde rij: aleph0, aleph1, aleph2, enz. Cantor’s stelling toont aan dat er altijd een grotere kardinaliteit bestaat dan de kardinaliteit van een gegeven verzameling; in het bijzonder is de machtverzameling van A altijd groter dan A zelf. De kardinaliteit van de reële getallen wordt vaak aangeduid met c en geldt als c = 2^{aleph0}.

Notatie en voorbeelden: |N| = aleph0. De kartoiditeit van de verzameling van alle reële getallen is continuum c, en c kan groter zijn dan aleph0. Voor oneindige kardinalen geldt onder andere dat toevoeging of vermenigvuldiging met een andere oneindige kardinaliteit de grootste van de twee kardinaliteiten oplevert: κ + λ = max(κ, λ) en κ · λ = max(κ, λ) (indien minstens één van beide oneindig is). Exponentie κ^λ kan aanzienlijk groter zijn; een bekend voorbeeld is 2^{aleph0} = c.

Relaties met ordinale getallen: kardinalen abstraheren de grootte terwijl ordinals de volgorde beschrijven. De kardinalen vormen zo een manier om grootte los te koppelen van onderliggende structuur, wat centraal staat in de verzamelingenleer.

Toepassingen vindt men in fundamentele wiskunde, logica en informatica, onder meer bij het vergelijken van groottes van verzamelingen en in theoretische modellen.