kardinaliteit

Kardinaliteit is, in de wiskunde en verwante vakgebieden, een maat voor de omvang van een verzameling. Het wordt meestal genoteerd als |A| voor een verzameling A. Twee verzamelingen A en B hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie tussen A en B bestaat. Voor een eindige verzameling is |A| het aantal elementen; voor oneindige verzamelingen geldt het begrip oneindigheid en de vergelijking van grootte via bijecties.

Voorbeelden illustreren het verschil tussen telling en grootte. Een verzameling zoals {1, 2, 3} heeft kardinaliteit 3. De verzameling van natuurlijke getallen N is oneindig maar telbaar, met kardinaliteit ℵ0 (aleph-null). De even getallen hebben dezelfde kardinaliteit als N, wat een bijectie tussen beide sets mogelijk maakt. De rationale getallen Q zijn ook telbaar (ℵ0), terwijl de reële getallen R onuit telbaar zijn en een grotere kardinaliteit hebben, aangeduid met de continuumkardinaliteit c. Cantor’s-diagonalargument toont aan dat |R| > |N|. In algemene termen maakt men onderscheid tussen tellbare verzamelingen en niet-tellbare verzamelingen; de notaties ℵ0, ℵ1, enz. worden gebruikt voor verschillende oneindige kardinaliteiten, en ℵ0 is de kleinste oneindige kardinaliteit.

Kardinaliteitsbewuuste bewerking van verzamelingen omvat optellingen, vermenigvuldigingen en exponentiëringen. Voor veel oneindige cardinallen gelden bijvoorbeeld ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 en ℵ0 · ℵ0 = ℵ0, terwijl 2^{ℵ0} = c het cardinaliteit van het machtige P(N) aangeeft. Cantor’s stelling stelt dat voor elke verzameling A geldt |A| < |P(A)|. Kardinaliteit kan ook worden gezien als een soort van initialen ordinale kardinalen, zoals ℵ0, ℵ1, enz., die de grootte van verzamelingen representeren zodra men de ordinale structuur verliest.

In databank- en informaticatoepassingen verwijst kardinaliteit ook naar de relatie tussen entiteiten, bijvoorbeeld één-op-één, één-op-veel of veel-op-veel relaties.