bijectie

Een bijectie, in de wiskunde vaak aangeduid als een bijection, is een functie f van een verzameling X naar een verzameling Y die zowel injectief als surjectief is. Injectief betekent dat verschillende elementen van X verschillende beelden hebben; als f(x1) = f(x2) dan x1 = x2. Surjectief betekent dat elk element van Y het beeld is van ten minste één element van X. Een bijectie heeft dus precies één prebeeld voor elk element van Y, en elk element van X heeft een beeld in Y.

Omdat bijecties bestaan, bestaat er een inverse functie f^{-1}: Y -> X die elke y in Y op de unieke x in X afbeeldt met f(x) = y. Voor alle x in X geldt f^{-1}(f(x)) = x en voor alle y in Y geldt f(f^{-1}(y)) = y. De inverse is zelf weer een bijectie. Een gevolg hiervan is dat bijecties de kardinaliteit (de grootte) van X en Y gelijk maken, en dat de samenstelling van twee bijecties opnieuw een bijectie is.

Kenmerkend is dat bijectie een een-op-een correspondentie tussen X en Y oplevert, wat essentieel is bij tellingen van hoeveel elementen verzamelingen hebben en bij het definiëren van permutaties. Een bijectie behoudt geen extra algebraïsche structuur per se, maar is cruciaal in veel gebieden zoals combinatoriek, lineaire algebra en analyse om aantallen en structuren tussen verzamelingen te vergeleiken.

Voorbeelden: de identiteitfunctie id_X: X -> X is een bijectie. Een eenvoudige bijectie tussen X = {1,2,3} en Y = {a,b,c} is 1->a, 2->b, 3->c. Een niet-bijectieve voorbeeld is f: R -> R met f(x) = x^2, omdat dit niet surjectief is op het geheel R.