Reparametrisatie

Reparametrisatie is het wijzigen van de parameterisatie van een wiskundig object, meestal een kromme of een oppervlak, door samenstelling met een veranderlijk parametergebied. In de context van krommen is een kromme c: I → M verplaatst naar een andere parameterisatie c̃: J → M via c̃ = c ∘ φ, waarbij φ: J → I een diffeomorfie (een gladde, omkeerbare en in elkaar inverse map) is. Zo’n φ verandert de manier waarop de kromme met de parameter t wordt getekend, terwijl de geometrische figuur die wordt weergegeven hetzelfde blijft.

Het belangrijkste kenmerk is dat reparametrisatie de afbeelding van de kromme in de ruimte behoudt, maar de voortgang langs die afbeelding anders maakt. De snelheid langs de kromme kan hierdoor variëren; zo kan men bijvoorbeeld de kromme zo parameteriseren als wind snelheid langs een kortste pad, of een kromme “meter” maken door middel van arc-length parameterisatie. Een arc-length parameterisatie wordt bereikt door φ zo te kiezen dat de snelheid constant is (meestal eenheidssnelheid).

In de differentiaalmeetkunde en de theoretische natuurkunde geldt vaak reparametrisatie-invariantie: de fysische inhoud blijft gelijk onder verandering van de parameterisering van bijvoorbeeld wereldlijnen of wereldbladen. In de machine learning en statistiek verwijst reparametrisatie ook naar de zogeheten reparameterization trick, waarmee stochastische variabelen als deterministische functies van parameters en ruis kunnen worden weergegeven, zodat gradiënten kunnen worden berekend.

Let op: niet elke φ levert een bruikbare reparametrisatie op. φ moet doorgaans monotone en glad zijn; anders kan de kromme dubbel of achteruit getrokken worden weergegeven, wat de geometrie niet verandert maar de parameterisatie wel beïnvloedt.