differentiaalmeetkunde

Differentiaalmeetkunde is een wiskundige tak die de geometrie van gladde ruimten onderzoekt met behulp van calculus. Het bestudeert manifolds en hun submanifolds en richt zich op zowel lokale als globale eigenschappen die onder gladde transformaties bewaard blijven. Centrale thema's zijn de structuur van de ruimte, de manier waarop paden in de ruimte zich bewegen en hoe kromming de vorm bepaalt.

Een fundamenteel concept is de Riemann-metriek, een inwendig product op de tengentruimten dat lengtes, hoeken en afstanden definieert. Met de metriek kan men krommen meten en geodesics beschrijven. De Levi-Civita-verbinding geeft de afgeleide van vectorvelden langs een kromme; hiermee definieert men parallel transport en covariante afleiding. Geodesics zijn krommen die langs hun eigen richting blijven vervoerd worden en dienen zo als korte paden op de ruimte.

Kromming is een sleutelbegrip: de Riemann-curvatuurtensor meet hoe ruimte afbuigt ten opzichte van een platte ruimte. Daaruit volgen de Ricci-curvature en de scalar curvature; samen geven zij een beknopt beeld van de kromming. Daarnaast beschrijft de sectionele kromming de kromming in een bepaald vlak. De Gauss-Bonnet-theorema koppelt kromming aan topologie en levert belangrijke resultaten over de globale structuur van oppervlakken en meer algemene manifolds.

Historisch gezien begon de discipline met Gauss, die intrinsieke kromming van oppervlakken onderzocht, en werd verder ontwikkeld door Riemann; Cartan heeft met de theorie van verbindingen en exterior calculus een grote bijdrage geleverd. Tegenwoordig ligt differential geometry aan de basis van veel moderne wiskunde en heeft het toepassingen in natuurkunde, computergraphics en data-analyse.