Riemannmetriek

Een Riemannmetriek op een gladde variëteit M is een tensorveld g dat elke raakruimte T_pM equipert met een positief-definit inproduct, en zodoende afhankelijk van p soepel varieert. Hiermee wordt op elke punt p een innerlijk product g_p op T_pM gegeven, zodat g_p(v,w) een bilineaire vorm oplevert. In lokale coördinaten x^1, …, x^n geldt g = ∑ g_ij dx^i ⊗ dx^j, en het lijnelement is ds^2 = ∑ g_ij dx^i dx^j.

De metriek bepaalt lengtes van krommen en afstanden tussen punten door de lengte van een kromme γ: L(γ) = ∫ √(g_γ(t)(γ′(t), γ′(t))) dt, en de afstand tussen twee punten is de infimum van de lengtes over alle verbindende krommen. Daarnaast levert de metriek een definities van hoeken, volumes en isometrieën. Een isometrie behoudt de metriek, dus de meeting van formele afstanden en vormen.

Bij een Riemannmetriek bestaat er een unieke Levi-Civita-verbinding ∇, een torsievrije verbinding die metriek compatibel is (∇g = 0). Het resultaat is een notie van afgeleide langs vectorvelden en geodesics: krommen γ met ∇_{γ′} γ′ = 0, die lokale korte afstanden realiseren. De Riemann-curvatuur R(X,Y)Z meet hoe differentialie paralleltransport afhankelijk is van traject; R geeft de follies van de ruimte weer.

De metriek induceert ook een volume-vorm vol_g = √det(g) dx^1 ∧ … ∧ dx^n en een Laplace-Beltrami-operator Δ_g voor analyse op M. Voorbeelden zijn de standaard metric op Euclidisch ruimte en de metriek die ontstaat door induceren vanaf een in-embedding ruimte zoals de bol of de torus. In de natuurkunde speelt een pseudo-Riemanniaanse metric, met Lorentzische signatuur, een centrale rol in de algemene relativiteitstheorie.