raakruimte

Raakruimte, in differentialgeometrie ook wel tangentruimte genoemd, is de vectorruimte T_pM die men beschouwt bij een punt p van een differentieerbare variëteit M. De elementen van T_pM worden geïnterpreteerd als mogelijke richtingen waarin een kromme door p kan passeren, oftewel als mogelijke snelheden van curves die p passeren.

Er bestaan meerdere equivalente definities van raakruimte. Een veelgebruikte is als de verzameling van velocities van all smooth curves γ: (-ε, ε) → M met γ(0) = p, waarbij γ'(0) het snelheidsvector aan p is. Een andere klassieke definitie is als de ruimte van derivaties bij p: lineaire operatoren v: C∞(M) → R die voldoet aan de Leibniz-regel v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g). Deze definities leveren dezelfde vectorruimte op met behulp van geschikte isomorfies.

Eigenschappen en voorbeelden. De raakruimte T_pM heeft dimensie gelijk aan de dimensie van M. Als M R^n is, dan is T_pR^n canoniek isomorf aan R^n en is onafhankelijk van p. In een gekozen coördinaten y^1,...,y^n bezit T_pM een structuur met basisvectoren ∂/∂y^i|_p. De verzameling van alle raakruimtes T_pM voor alle p ∈ M vormt de raakbundel T M, een vectorbundel boven M.

Voorbeelden: bij de kegel of de bol S^2 in R^3 ligt T_pS^2 in het vlak loodrecht op het straalvector p, oftewel de rechte vrije door p meet de plane van raaklijnen; bij M = R^n is T_pM eenvoudigweg R^n.

Differentiaal van een kaart en kaartmappings. Voor een gladde kaart f: M → N stuurt de differentiaal df_p: T_pM naar T_{f(p)}N een lineaire afbeelding. In coördinaten correspondeert df_p met de Jacobimatrix van f.

Achtergrond. De duale ruimte van T_pM is de cotangentruimte T_p^*M, bestaande uit lineaire functionalen op T_pM. Raakruimte vormt een fundamenteel concept in vele gebieden van wiskunde en theoretische natuurkunde.