differentialgeometrie

Differentialgeometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das geometrische Fragestellungen mit Mitteln der Analysis behandelt. Im Zentrum stehen glatte Mannigfaltigkeiten, auf denen sich geometrische Strukturen wie Metriken oder Verbindungen definieren lassen. Durch differenzierbare Abbildungen, Tangentialräume und Tensoren untersucht die Differentialgeometrie lokale Eigenschaften geometrischer Objekte und formuliert globalere Aussagen über Form, Lage und Krümmung.

Zu den zentralen Konzepten gehören Tangentialräume, Differentialformen und Tensoren. Eine Metrik ordnet jedem Punkt eine Bilinearform zu, die das infinitesimale Abstandsmaß bestimmt. Aus ihr ergeben sich Geodäten, also Kurven, die lokale kürzeste Verbindungswege darstellen. Verbindungen, besonders die Levi-Civita-Verbindung, ermöglichen den Vergleich von Vektoren in benachbarten Tangentialräumen und definieren die Krümmung.

Die Krümmung lässt sich durch den Krümmungstensor, den Ricci-Tensor und die Skalar-Krümmung ausdrücken. In der Riemannschen Geometrie wird der Krümmungsaufbau durch eine Metrik bestimmt. Die Gauss-Bonnet-Theorie verbindet Krümmung mit topologischen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit. Zusätzlich gehört das Exterior Calculus, das Differentialformen verwendet, zu den zentralen Werkzeugen, um koordninatenunabhängige Formulierungen zu ermöglichen.

Historisch hat sich das Gebiet aus der Arbeit von Gauss, Riemann und Levi-Civita entwickelt; weiter ausgebaut von Cartan. Anwendungen finden sich in der Allgemeinen Relativitätstheorie, der Modellierung von Oberflächen in der Computergrafik, Robotik sowie in der theoretischen Physik. Wichtige Ergebnisse verbinden Geometrie und Topologie, zum Beispiel das Gauss-Bonnet-Theorem, das globale Eigenschaften aus der lokalen Krümmung ableitet.

Methoden umfassen die formale Sprache der Mannigfaltigkeiten durch Atlanten, Koordinatenkarten, Tensorfelder, Differentialformen, Pullback-Operationen und Lie-Konstruktionen. Die Differentialgeometrie dient auch als Grundlage zahlreicher numerischer Verfahren in Technik und Wissenschaft, etwa zur Simulation von Oberflächen, zur Berechnung von Geodäten oder zur Modellierung physikalischer Felder.