Tensoren

Tensoren zijn wiskundige objecten die multi-lineaire relaties vastleggen en onder veranderingen van coördinaten op een voorspelbare manier transformeren. Ze bieden een uniforme taal voor vectoren, matrices en hogere-dimensionale gegevens. In basisnotatie worden tensoren beschreven door componenten die met indices worden aangeduid, en deze componenten transformeren volgens specifieke regels wanneer het coördinatenstelsel verandert.

De rang of orde van een tensor geeft het aantal vrije indices aan. Een nulde-orde tensor is een scalaar, een eerste-orde tensor een vector, en een tweede-orde tensor kan worden gezien als een matrix of als een bilineaire vorm. Hogere orde tensors hebben drie of meer vrije indices. De metrieke tensor in de relativiteit en de spannings- of stress-tensor in continuümmechanica zijn voorbeeldfiguren van tweede-orde tensoren. Een tensorveld wijst aan elk punt van een ruimtelijke of ruimtetijd-ruimte een tensor toe, zodat de tensorinhoud kan variëren over de ruimte.

Belangrijke bewerkingen zijn optellen en scalar-multiplicatie, tensorproduct en contractie. Het tensorproduct combineert twee tensors tot een hogere orde, terwijl contractie indices samenvoegt en zo de orde verlaagt. In de praktijk wordt vaak gekozen voor een basis en worden componenten toegepast via de Einstein-somatie.

Toepassingen bevinden zich in de wiskunde (differentiële meetkunde en tensoranalyse), natuurkunde (algemene relativiteit, krachten en velden), continuümmechanica en, in informatica en machine learning, als multi-dimensionale datarepresentaties en bewerkingen op tensoren.