Krümmungstensor

Der Krümmungstensor, auch Riemann-Tensor genannt, ist ein Tensor der Ordnung vier, der die intrinsische Krümmung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit einer Metrik beschreibt. Er misst, wie sich Vektoren nach einer Schleife im geformten Raum im Vergleich zum flachen Raum verändern, und ist zentral für das Verständnis der geometrischen Struktur einer Mannigfaltigkeit.

In Koordinaten lässt sich der Krümmungstensor aus der Levi-Civita-Verbindung ∇ ableiten und lautet

R^ρ_{ σ μ ν} = ∂_μ Γ^ρ_{ ν σ} - ∂_ν Γ^ρ_{ μ σ} + Γ^ρ_{ μ λ} Γ^λ_{ ν σ} - Γ^ρ_{ ν λ} Γ^λ_{ μ σ},

wobei Γ^ρ_{ μ ν} die Christoffel-Symbole der Metrik g darstellen. Das vollständig kovariante Form ist R_{ρ σ μ ν} = g_{ρ λ} R^λ_{ σ μ ν}. Der Riemann-Tensor ist antisymmetrisch in μ und ν und besitzt weitere Symmetrien: R^ρ_{ σ μ ν} = - R^ρ_{ σ ν μ}, R_{ρ σ μ ν} = - R_{ρ σ ν μ}, R_{ρ σ μ ν} = R_{ μ ν ρ σ}, sowie die Bianchi-Gleichungen.

Durch Kontraktion erhält man wichtige Größen der Krümmung: der Ricci-Tensor R_{σ ν} = R^μ_{ σ μ ν} und die skalare Krümmung R = g^{σ ν} R_{σ ν}. Der Riemann-Tensor dient außerdem zur Formulierung der Geodätengleichung der Geodätenabstandung: D^2 ξ^ρ / dτ^2 = - R^ρ_{ σ μ ν} u^σ u^μ ξ^ν.

Eigenschaften und Bedeutung: Der Krümmungstensor ist koordiniert unabhängig und verschwindet, wenn die Mannigfaltigkeit lokal flach ist. Er ist grundlegend in der Theorie der Gravitation, wo der Zusammenhang zwischen Geometrie und Materie durch Felder wie die Einstein-Gleichungen beschrieben wird.