vectorvelden

Een vectorveld op een domein D is een functie F: D ⊆ R^n → R^n die aan elk punt x in D een vector F(x) toewijst. Het geeft de richting en de grootte van een verschijnsel dat op elk punt aanwezig is, bijvoorbeeld de snelheid van een vloeistofstroom of een magnetisch veld. In coördinaten schrijft men F(x) = (F1(x), ..., Fn(x)). Het domein D is meestal een open verzameling, zodat naburige punten dezelfde definitie hebben.

Vectorvelden kunnen continu of differentieerbaar zijn; hun regelmaat wordt aangeduid met notaties als C^k. De grafische voorstelling bestaat uit veldlijnen of stroken die de richting van F aangeven.

Belangrijke bewerkingen zijn onder meer de divergentie en de curl. De divergente ∇·F meet de netto flux van het veld door een oppervlaktelijn, en de curl ∇×F meet de rotatie van het veld in drie dimensies (in twee dimensies levert de curl een scalair veld op). Een veelvoorkomend type vectorveld is een conservatief of potentiaalveld, waarbij F = ∇φ voor een scalar veld φ; zulke velden hebben padonafhankelijke lijnintegralen.

Toepassingen van vectorvelden komen voor in de natuurkunde, engineering, meteorologie en computergraphics. Ze modelleren onder meer vloeistofdynamica, elektromagnetische velden, windstromen en stromingsvisualisaties. Ook in geometrie en dynamische systemen spelen vectorvelden een centrale rol, bijvoorbeeld als secties van de raakbundel op een variëteit.

Samengevat koppelt een vectorveld aan elk punt van een domein een vector, waardoor richting en sterkte in de ruimte gemodelleerd worden. Het is een fundamenteel concept in wiskunde en natuurkunde.