Oneindigdimensionaal

Oneindigdimensionaal is een term uit de wiskunde die wordt gebruikt om aan te geven dat een ruimte of systeem een oneindig aantal dimensies heeft. In vectorruimten en functionaalanalyse verwijst het meestal naar ruimtes waarvoor geen eindige basis bestaat, in tegenstelling tot eindigdimensionale ruimten zoals R^n.

Veelvoorkomende voorbeelden van oneindigdimensionale ruimten zijn functionele ruimten zoals L^p([0,1]) voor 1 ≤ p ≤ ∞, de ruimte van continue functies op een interval C([0,1]), en de ruimte van oneindig tal reeksen l^p. In de context van Hilbertruimten speelt L^2([0,1]) een centrale rol, terwijl Banachruimten zoals L^p (p ≠ 2) ook oneindigdimensionaal zijn.

Eigenschappen: In tegenstelling tot eindigdimensionale ruimten ontbreekt bij veel oneindigdimensionale normruimten de compacte eigenschap van de eenheidsbal. De dimensionering kan worden opgevat als de kardinaliteit van een Hamel-basis, die doorgaans extreem groot is. In veel oneindigdimensionale Banach-ruimten bestaat geen praktische Hamel-basis, maar in veel gevallen bestaat wel een Schauder-basis (vooral in separabele Hilbertruimten), waardoor elke vector als een convergente reeks van basisvectoren kan worden uitgedrukt. Voor sommige ruimten bestaan echter geen Schauder-bases, wat de analyse bemoeilijkt en juist aantoont dat intuïtie uit eindige dimensies niet altijd doorwerkt.

Toepassingen en context: Oneindigdimensionale ruimten spelen een centrale rol in functionaalanalyse, quantummechanica, signaalverwerking en verschillende takken van wiskundige modellering. Het begrip helpt bij het beschrijven van systemen met oneindig veel parameters, zoals golf- en tijdsfuncties, en bij de theoretische onderbouwing van methoden in analyse en toegepaste wiskunde. Verwante termen zijn eindigdimensionaal, Hilbertruimte, Banachruimte, Schauder-basis en Hamel-basis.