eindigdimensionaal

Eindigdimensionaal is een term uit de lineaire algebra die een vectorruimte V over een veld F beschrijft met een eindige dimensie. Dit betekent dat er een eindige verzameling vectoren bestaat die V spannt, en de dimensie van V is het aantal vectoren in een basis van V.

Voorbeelden en interpretatie: hetEuclidische ruimte R^n is eindigdimensionaal en heeft dimensie n. De ruimte P_n van polynomen met graad ten hoogste n is eindigdimensionaal en heeft als basis {1, x, x^2, ..., x^n}. Een onderruimte van een eindigdimensionale ruimte is zelf ook eindigdimensionaal. Ruimten zoals de gehele ruimte van alle polynomen zonder graadbeperking of functies in C([0,1]) zijn meestal oneindigdimensionaal.

Belangrijke eigenschappen: in een eindigdimensionale ruimte bestaan alle fundamenten uit hetzelfde aantal vectoren, dit getal noemt de dimensie. Elke lineair onafhankelijke verzameling kan worden uitgebreid tot een basis, en elke spanning kan worden teruggebracht tot een basis. Lineaire toepassingen tussen eindigdimensionale ruimtes kunnen worden voorgesteld door matrices, en fundamentele resultaten zoals de rang-nulliteitstelling gelden: dim Im(T) + dim Ker(T) = dim(V). Het duale ruimte V* heeft ook dimension dim(V). In eindigdimensionale ruimtes zijn alle normen onderling equivalent, wat de analyse en de topologie vereenvoudigt.

Vergelijking met oneindigdimensionale ruimtes: veel natuurlijke functie-ruimten in de analyse zijn oneindigdimensionaal, waar andere concepten (zoals Hamel- versus Schauder-bases) een rol spelen. In de eindigdimensionale setting daarentegen geldt vaak eenvoudig lineair-algebraïsche manipulatie met matrices.