Oneindigdimensionale

Oneindigdimensionale verwijst naar vectorruimten waarvan de dimensie niet eindig is. Een ruimte is oneindigdimensionaal als er geen eindige verzameling vectoren bestaat die elke vector in de ruimte lineair kan uitdrukken; equivalently bestaat er een oneindig lange lineair onafhankelijke verzameling in de ruimte. In de context van normruimten zoals Banach- of Hilbert-ruimten betekent het dat er oneindig veel richtingen zijn waarin men kan variëren.

Voorbeelden van oneindigdimensionale ruimten zijn onder meer de ruimte van alle reeksen met een p-norm, zoals l^p (1 ≤ p < ∞), de ruimte L^p van functies op een maatruimte, en de ruimte C([0,1]) van continue functies op een interval. Deze ruimten hebben doorgaans een oneindige basis en kennen vaak verschillende representaties van elementen, bijvoorbeeld via oneindige reeksen of functiewaardes.

Een belangrijk kenmerk van veel oneindigdimensionale normruimten is dat sommige intuïtieve eigenschappen uit de einddimensionale meetal niet gelden. Zo is de gesloten eenheidsbal in een oneindigdimensionale normruimte niet compact, wat verschillende analytische gevolgen heeft. Ook bestaan normen die niet onderling equivalente topologieën opleveren, wat in einddimensionale ruimten altijd het geval is.

In de wiskunde, en met name in de functionaalanalyse, spelen oneindigdimensionale ruimten een centrale rol. Ze vormen de setting waarin functies, operatoren en oneindige representaties zoals Fourier- of Legendre-reeksen worden onderzocht, en ze beschrijven systemen met oneindig veel vrijheidsgraden, zoals functies op een continu bereik of quantum-systemen met eindeloze aantallen toestanden.