Isometrieën

Isometrieën zijn wiskundige transformaties die de afstand tussen elk paar punten behouden. In de Euclidische ruimte R^n betekent dit dat een kaart f: R^n → R^n voor alle x en y in R^n de afstand tussen f(x) en f(y) gelijk houdt aan de afstand tussen x en y. Doordat de afstand bewaard blijft, blijven lengtes en hoeken ongewijzigd, en het beeld van een figuur onder een isometrie is congruent aan de oorspronkelijke figuur.

De meest voorkomende isometrieën in de vlakke ruimte zijn vertalingen (verplaatsingen langs een vector), rotaties om een punt, spiegelingen ten opzichte van een rechte lijn, en glide-reflecties (de combinatie van spiegeling met een verschuiving langs de spiegellijn). In drie dimensies bestaan soortgelijke basistypen met extra mogelijkheden zoals rotaties om een as, spiegelingen ten opzichte van een vlak, en samengestelde bewegingen zoals screw motions (rotatie gevolgd door translatie langs de as).

Eigenschappen en structuur: de verzameling van alle isometrieën van een ruimte vormt onder de samenstelling een groep, de isometriegroep; bij benadering wordt dit groepsbegrip ook gebruikt voor de bijectieve isometrieën. Isometrieën behouden ook collineariteit en (in veel gevallen) parallelisme, en sturen figuren naar congruente figuren. Ze kunnen oriënteringsbewust zijn: rotaties en vertalingen behouden de oriëntatie, terwijl spiegelingen en glide-reflecties deze kunnen omkeren.

Relatie tot verwante begrippen: isometrieën behouden afstand, in tegenstelling tot gelijkenissen (similariteiten), die behalve afstand ook een schaalfactor toelaten. Isometrieën zijn daarmee een speciale soort van transformaties dieCongruentie mogelijk maken zonder schaalverandering. Toepassingen vinden we in geometrie, computer graphics, robotica en crystallografie.