isometriegroep

Isometriegroep is de groep van alle isometrieën van een metrische ruimte X, met de bewerking van samengestelde functies. Een isometrie f: X → X voldoet aan d(f(x), f(y)) = d(x, y) voor alle x en y in X. De verzameling van alle isometrieën vormt een groep onder functiecompositie en wordt meestal aangeduid met Isom(X) of E(X).

In de Euclidische ruimte R^n met de Euclidische afstand is de isometriegroep E(n) de groep van alle afstandsbepalende automorfismen. Elke isometrie van R^n is een affiene transformatie x ↦ Ax + b met A ∈ O(n) en b ∈ R^n; de orthogonale groep levert de rotaties en spiegelingen, terwijl b de translatie is. De groep E(n) is een semidirect product: E(n) ≅ R^n ⋊ O(n). De component van identiteit SE(n) = R^n ⋊ SO(n) is de oriëntatiebehoudende subgroep.

De dimensie van E(n) bedraagt n(n+1)/2. In het vlak (n = 2) is E(2) een 3-dimensionale Lie-groep; SE(2) heeft dezelfde dimensie en beschrijft translatie en rotatie, terwijl O(2) twee componenten heeft (rotatie en spiegeling).

Naast Euclidische ruimten bestaan isometriegroepen ook voor algemene metrische ruimten; hun studie raakt symmetrie en structuur van de ruimte. Toepassingen bevinden zich onder meer in crystallografie, robotica, computer vision en geometrische modellering.