Derivatieve

Derivatieve, in het Nederlands meestal afgeleide genoemd, is een wiskundig begrip dat de lokale verandering van een functie beschrijft. Voor een functie f gedefinieerd op een interval geeft de afgeleide aan hoe snel f verandert als de input x verandert. In symbolen wordt de afgeleide vaak geschreven als f'(x) of dy/dx, en kan deze bestaan uit een limiet: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h, indien deze limiet bestaat.

De afgeleide heeft een geometrische interpretatie: het is de helling van de raaklijn aan de grafiek van f bij x. Afgeleiden bestaan voor veel standaard functies en vormen de basis van regels die berekeningen vereenvoudigen. Belangrijke eigenschappen zijn onder meer lineariteit ( (a f + b g)' = a f' + b g' ), de regela's van product (uv)' = u'v + uv' en kettingregel (d/dx) f(g(x)) = f'(g(x)) · g'(x). Voor functies van één variabele geldt dat hogere afgeleiden bestaan: de tweede afgeleide f''(x) is de afgeleide van f'(x), en zo verder.

Voor multivariabele functies bestaan ook partiële afgeleiden, zoals ∂f/∂x en ∂f/∂y, die de verandering van f bepalen bij een kleine verandering van één variabele terwijl de anderen constant blijven.

Toepassingen omvatten optimalisatie (vinden van punten waar f'(x)=0), kinetica (snelheid als afgeleide van positie), natuurkunde en economie. Differentiabiliteit vereist een lokale lineaire benadering; sommige functies zijn wel-continu, maar niet differentiabel (bijvoorbeeld abs(x) bij x=0).

In de financiële context verwijst derivaat of derivatief naar een financieel instrument waarvan de waarde afhangt van een onderliggende variabele, zoals opties, futures en swaps. Deze instrumenten worden gebruikt voor hedging en speculatie.