variatieprincipe

Variatieprincipe is een verzamelnaam voor principes in de natuurkunde en wiskunde waarbij de evolutie van een systeem of de vorm van een veld wordt bepaald door het extremiseren of stationariseren van een functionaal, meestal de actie. In de klassieke mechanica is Hamilton’s principe het bekendste voorbeeld: tussen twee tijdbewuste momenten maakt de feitelijke traject de actie S stationair, met S = ∫ L(q, q̇, t) dt en L de Lagrangiaanse functie. Uit δS = 0 volgen de Euler–Lagrange-vergelijkingen, die de beweging van het systeem beschrijven.

Historisch gezien ontwikkelden Maupertuis, gevolgd door Lagrange en Hamilton, variatieprincipes die natuurwetten afleiden uit optimaliteit. In de optica geldt Fermat’s principe: het licht kiest het pad met stationaire optische padlengte ∫ n ds tussen twee punten.

Variatieprincipes komen ook in de quantummechanica voor. Het variatieprincipe stelt dat de grondtoestandenergie de minimale waarde is van de verwachting van de Hamiltoniaan over alle genormaliseerde proefgolffuncties; hiermee kunnen benaderingen zoals de Rayleigh–Ritz-methode worden toegepast om energiespelen te schatten.

In bredere zin vormen variatieprincipes een fundamentele wiskundige basis van veldtheorie en algemene relativiteit; zo bepaalt de actie-integral, bijvoorbeeld in de Einstein–Hilbert-actie, vaak de veldvergelijkingen via stationariteit. Daarnaast leveren variatieprincipes draagvlak voor numerieke methoden en modellering, zoals variatie- en eindige-elementmethoden.