EulerLagrangevergelijkingen

De Euler-Lagrangevergelijkingen zijn een stel diferenteelvergelijkingen die voortkomen uit het principe van stationaire actie in de variatiestheorie. Voor een systeem met generieke coördinaten q_i(t) en een Lagrangiaan L(q_i, q̇_i, t) luiden de bewegingsvergelijkingen voor elk i: d/dt(∂L/∂q̇_i) − ∂L/∂q_i = 0.

Deze vorm volgt uit de eis dat de actie S[q] = ∫ L dt onder kleine variaties δq_i(t) met vaste eindpunten een extremum heeft. Als L regulier is (de matrix ∂^2L/∂q̇_i ∂q̇_j is omkeerbaar), bepalen de vergelijkingen de evolutie van het systeem eenduidig.

In de veldtheorie geldt een algemene vorm met een Lagrangiaan-dichtheid ℒ(φ, ∂μφ, x): ∂μ(∂ℒ/∂(∂μφ)) − ∂ℒ/∂φ = 0, wat de bewegingsvergelijkingen voor het veld φ(x) oplevert. Het formalisme ligt ten grondslag aan klassieke mechanica, elektromagnetisme, de algemene relativiteit en continuümmechanica.

Voorbeeld: bij een enkel deeltje met L = T − V = (1/2)m q̇^2 − V(q) krijgen we m q̈ = − ∂V/∂q. De vergelijkingen zijn nauw verbonden met Noether’s theoremen, die symmetrieën koppelen aan conservatiewetten, en worden vaak numeriek opgelost wanneer analytische oplossingen ontbreken.