Hamiltoniaan

Een Hamiltoniaan is een wiskundig object dat de totale energie van een mechanisch systeem beschrijft. De term komt uit de Hamiltoniaanse mechanica, ontwikkeld door William Rowan Hamilton in de 19e eeuw. In de klassieke mechanica is de Hamiltoniaan H een functie van de algemene coördinaten q_i en hun conjugate momenta p_i, vaak H = T(p) + V(q). De beweging van het systeem wordt gegeven door Hamilton’s vergelijkingen: dq_i/dt = ∂H/∂p_i en dp_i/dt = -∂H/∂q_i. Voor systemen die afkomstig zijn van een Lagrangiaan L is H verkregen via de Legendre-transformatie H = Σ p_i q̇_i - L, met p_i = ∂L/∂q̇_i. Bij tijdonafhankelijke H blijft de Hamiltoniaan constant en vertegenwoordigt vaak de totale energie.

In de kwantummechanica is de Hamiltoniaan Ĥ een lineaire operator die opereert op een Hilbertruimte en de tijdsontwikkeling van kwantumsystemen bepaalt. De tijd onafhankelijke Schrödinger-vergelijking luidt Ĥψ = Eψ; de tijdafhankelijke evolutie volgt iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ. Voor een veeldeeltjesysteem wordt Ĥ doorgaans geschreven als Ĥ = Σ p_i^2/(2m_i) + V(q), waarbij p_i de momenta zijn en V de potentiaal. Het Hamiltoniaanse concept is fundamenteel voor diverse gebieden van natuurkunde, waaronder klassieke en quantumdynamica, statistische mechanica en chaotische systemen, en vormt de kern van de symplectische structuur en conservedie-wetten die veel systemen kenmerken.