Lagrangiaanse

Lagrangiaanse verwijst naar de Lagrangiaanse formele en naar de Lagrangiaanse functie, termen die voorkomen in de mechanica en variatietheorie. Het begrip is vernoemd naar Joseph-Louis Lagrange, die in de late achttiende eeuw een nieuw kader voor de dynamica introduceerde. De Lagrangiaanse aanpak biedt een alternatief voor Newtoniaanse regels en vormt de basis van de moderne variatiestheorie in de natuurkunde.

De kern is de Lagrangiaanse functie L(q, q̇, t), een scalair functie die afhangt van de coördinaten q_i, hun tijdsafgeleiden q̇_i en mogelijk van tijd t. Voor veel systemen geldt L = T − V, waarbij T de kinetische energie en V de potentiële energie is; in het algemeen kan L elk passend alternatief zijn dat de evolutie van het systeem beschrijft.

De bewegingen volgen uit de Euler–Lagrange-vergelijkingen: d/dt(∂L/∂q̇_i) − ∂L/∂q_i = 0 voor elke coördinaat q_i. Het pad van de beweging wordt gezien als de extremisatie van de actie S = ∫ L dt, volgens het principe van stationaire actie.

De Lagrangiaanse aanpak biedt voordelen bij veranderlijke coördinaten en bij systemen met beperkingen. Via de Legendre-transformatie kan men L koppelen aan de Hamiltoniaanse formal. In veldtheorie wordt de Lagrangiaanse functie vaak vervangen door een Lagrangiaanse densiteit ℒ, die de veldvergelijkingen uitlegt en relatieve theorieën mogelijk maakt.

Historisch gezien werd het Lagrangiaanse raamwerk door Lagrange ontwikkeld en vormt het een fundament van de hedendaagse natuurkunde en wiskunde.