sumofsquarestechnieken

Sumofsquarestechnieken (SOS-technieken) zijn methoden in wiskunde en statistiek die een uitdrukking aanduiden als een som van kwadraten van functies of variabelen. Deze benadering kent twee hoofdlijnen: statistische analyze en polynomiale optimalisatie. In de statistiek wordt vaak gesproken van som van kwadraten bij variantie-analyse en regressie, terwijl in wiskunde en controle-theorie de nadruk ligt op niet-negativiteitscertificaten via som-van-kwadraten-representaties.

In statistiek dient de som-van-kwadratenbenadering om variatie toe te schrijven aan verschillende bronnen. Bij ANOVA bijvoorbeeld wordt de totale variatie opgesplitst in variatie door factoren, interacties en residuen. Deze decompositie levert inzichten over de sterkte van effecten en wordt ondersteund door F-statistieken en betrouwbaarheidsintervallen. De techniek vereist doorgaans lineaire modellen, orthogonaliteit van ontwerpmatrix en een duidelijk definieerde degrees of freedom-verdeling.

In de context van polynomiale optimalisatie worden polynomen die altijd niet negatief zijn vaak gezocht als som van kwadraten van andere polynomen. Een dergelijke representatie leidt tot convex-relaxaties via semidefinite programming en biedt een tractabele benadering om globale certificaten te verkrijgen voor niet-negativiteit. Toepassingen omvatten controle en systeemidentificatie, robuuste optimalisering, robotica en formele verificatie. Het Gram-matrixkenmerk maakt deel uit van de computationele aanpak: men zoekt een PSD-matrix G zodanig dat p(x) = z(x)^T G z(x).

Historisch gezien ontstonden de statistische toepassingen vroeg in de twintigste eeuw met de ontwikkeling van ANOVA, terwijl de som-van-kwadratenbenaderingen in de wiskundige optimalisatie sterk zijn uitgebreid tijdens latere decennia met de opkomst van semidefinite programming en de moment-SOS-hiërarchie. Tools variëren van traditionele statistische software tot SDP-solvers in wiskundige omgevingen.