substitutiemethoden

Substitutiemethoden zijn technieken in de wiskunde waarbij een variabele of uitdrukking wordt vervangen door een equivalente uitdrukking om een probleem te vereenvoudigen. Het doel is complexiteit te verminderen terwijl de oplossingen behouden blijven.

Algemeen proces: men kiest een substitutie die de structuur van de wiskundige uitdrukking beter beheersbaar maakt, vervangt alle voorkomens en lost vervolgens de vereenvoudigde vergelijking op. Daarna wordt de gevonden oplossing teruggesubstitueerd in de oorspronkelijke variabelen. De methode is vaak een hulpmiddel naast andere technieken zoals eliminatie of Gauss-methoden.

Voorbeelden:

- Algebra, systemen van lineaire vergelijkingen: men uit een variabele uit de ene vergelijking in termen van de andere en substituteert die uitdrukking in de overige vergelijkingen. Hierdoor ontstaat een oplosbaar probleem met één onbekende, waarna men terugsubstitueert voor de overige variabelen.

- Calculus, integreren: u-substitutie (ook wel substitutie genoemd) kiest u = g(x). Dan du = g'(x) dx, wordt de integraal herwritten in termen van u, wordt deze opgelost en daarna wordt u terug vervangen door g(x).

- Differentiaalvergelijkingen: substituties worden toegepast om de orde te verlagen of om de vergelijking homogeen te maken, bijvoorbeeld door y = v(x) of z = y/x afhankelijk van de vorm van de vergelijking.

Voordelen en beperkingen: substitutie kan de structuur vereenvoudigen en oplossingen mogelijk maken, maar vereist een geschikte substitutie die de berekening daadwerkelijk vereenvoudigt. Een verkeerde keuze kan de algebra juist verergeren of leiden tot ingewikkelde uitdrukkingen.

Zie ook: lineaire systemen, Gauss-eliminatie, u-substitutie.