standaardGaussfunctie

De standaard Gaussfunctie, ook wel de kansdichtheidsfunctie van de standaardnormale verdeling genoemd, is een specifieke Gaussische functie die wordt gebruikt om een normaalse verdeling met verwachting μ = 0 en standaardafwijking σ = 1 te beschrijven. De functie is f(x) = (1/√(2π)) exp(-x^2/2) voor alle x in R. Deze functie is symmetrisch en unimodaal, met een maximum bij x = 0; de integraal over alle reële getallen is gelijk aan 1, waardoor het een kansdichtheidsfunctie is.

De bijbehorende cumulatieve verdelingsfunctie is Φ(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt. Er bestaat geen elementaire gesloten vorm voor Φ(x); in veel toepassingen wordt Φ uitgedrukt met de foutfunctie: Φ(x) = 1/2 [1 + erf(x/√2)].

De standaardnormale verdeling N(0,1) is de waarschijnlijkheidsverdeling die door deze kansdichtheidsfunctie wordt beschreven. In de praktijk wordt elk willekeurig normaal verdeeld getal X met gemiddelde μ en standaardafwijking σ gestandaardiseerd via z = (X − μ)/σ, zodat Z = (X − μ)/σ een standaardnormale variabele is met Z ∼ N(0,1).

Algemene Gaussische functies als kansdichtheidsfuncties worden gegeven door f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x − μ)^2 / (2 σ^2)), met μ als gemiddelde en σ als standaardafwijking. De standaardfunctie is dan f(x) = (1/√(2π)) exp(-x^2/2) bij μ = 0 en σ = 1. Gaussfuncties komen breed voor in statistiek, natuurkunde en beeldverwerking en spelen een centrale rol bij het begrip van de centrale limietstelling en bij filtering en smoothing.