matrixbewerkingen

Matrixbewerkingen zijn wiskundige operaties met matrices die resulteren in een andere matrix. Ze worden doorgaans gedefinieerd over een veld, meestal de reële of complexe getallen, en gelden voor matrices van passende afmetingen.

Optellen en aftrekken: Voor matrices A en B van dezelfde afmetingen is A+B en A-B gedefinieerd, met (A±B)_{ij} = a_{ij} ± b_{ij}. Vermenigvuldiging: De product A×B is gedefinieerd als A (m×n) en B (n×p) en levert een matrix C van grootte m×p met c_{ij} = ∑_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. Deze bewerking is in het algemeen niet commutatief en wel associatief en distributief over +.

Transpositie en determinanten: De transpose A^T heeft rijen en kolommen omgewisseld. Een matrix is symmetrisch als A = A^T; skew-symmetrisch als A = −A^T. Voor vierkante matrices is de determinant det(A) een scalair getal dat invertibiliteit bepaalt: A is omkeerbaar als det(A) ≠ 0 en dan bestaat er een unieke inverse A^{-1}.

Rang en eliminatie: De rang van een matrix is het maximum aantal lineair onafhankelijke rijen (of kolommen). Gauss-eliminatie leidt tot rij-echelonvorm of gereduceerde rij-echelonvorm, wat nuttig is bij het oplossen van lineaire systemen en bij het berekenen van de rang.

Eigenschappen en decompositie: Eigwaarden λ en bijbehorende eigenvectoren v voldoen Av = λv. Diagonalisatie bestaat indien er genoeg lineaire onafhankelijke eigenvectoren zijn. Daarnaast zijn LU- en QR-decomposities en de singular value decomposition (SVD) belangrijke hulpmiddelen bij numerieke berekeningen en data-analyse.

Toepassingen: Matrixbewerkingen worden toegepast bij het oplossen van systemen van lineaire vergelijkingen, computergraphics, statistiek, signaalverwerking en machine learning.