invertibiliteit

Invertibiliteit is het eigenschap dat een object een inverse heeft, dat wil zeggen een omkeerbare werking. In de wiskunde heeft invertibiliteit verschillende contexten, maar de kern is dat er een omkeerbaar proces bestaat.

In lineaire algebra is een vierkante n×n-matrix A invertibel als er een matrix B bestaat zodanig dat AB = BA = I. B wordt de inverse van A genoemd en genoteerd als A⁻¹. Een matrix is invertibel als en slechts als det(A) ≠ 0; equivalenter is dat de rang van A gelijk is aan n, wat betekent dat de kolommen lineair onafhankelijk zijn en een basis vormen voor de ruimte.

Belangrijke eigenschappen zijn onder andere: de inverse is uniek; (A⁻¹)⁻¹ = A; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹; en als A invertibel is, dan is Aᵗ ook invertibel en (Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ. In een vectorruimte met eindige dimensie komt invertibiliteit overeen met het bestaan van een bijectieve lineaire transformatie; zulke transformaties zijn precies de omkeringen.

Toepassingen omvatten het oplossen van systemen Ax = b voor invertibele A via x = A⁻¹b, evenals concepten als veranderings van basis en beschrijving van lineaire onafhankelijkheid. In bredere zin kan invertibiliteit ook verwijzen naar elementen in een ring die zowel links- als rechtsinvertibel zijn (eenheden) en naar invertibiliteit van functies: een functie f heeft een inverse f⁻¹ als en alleen als zij bijectief is.

Voorbeelden: de identiteit A = [[1,0],[0,1]] is invertibel met inverse A⁻¹ = A; [[1,0],[0,0]] is niet-invertibel.