invertibele

Invertibel (invertibele) beschrijft de eigenschap van een object waarbij er een inverse bestaat, zodat de bewerking terug kan worden gedraaid tot het identiteitsobject. Deze daartoe geschikte inverse wordt vaak aangeduid met een superscript −1, bijvoorbeeld A−1 voor een matrix A.

In de context van matrices betekent invertibel zijn dat er een matrix B bestaat met AB = BA = I, waarin I de identiteitsmatrix is. Een vierkante matrix is invertibel als en alleen als de determinant niet nul is, of equivalenter: de rij- of kolomrank is gelijk aan de afmetingen. De inverse A−1 is uniek en kan worden berekend via Gauss-eliminatie, de adjugaat gedeeld door de determinant, of andere algebraïsche procedures.

In functieanalyses en settheorie is een functie f: X → X invertibel als ze bijectief is, zodat er een inverse functie f−1 bestaat met f(f−1(y)) = y en f−1(f(x)) = x. In dat geval wordt f een automorfisme genoemd van het betrokken domein.

In algebraïsche structuren zoals ringen of monoids wordt een element u een unit genoemd als er een element v bestaat met uv = vu = 1; de inverse van u bevindt zich dan binnen dezelfde structuur. Eenheden vormen zo een groep onder de vermenigvuldiging.

Voorbeelden zijn rotatiematrices en sommige transformaties die ruimte niet krimpen of vergroten; projectiematrices die niet full-rank zijn, hebben doorgaans geen inverse. Inverseerbaarheid is een fundamenteel concept doordat het aangeven geeft of processen kunnen worden teruggedraaid en of structuren automorphe eigenschappen bezitten.