machtfunctie

Een machtfunctie is een wiskundige functie van de vorm f(x) = a x^p, waarbij a ≠ 0 en p een reëel getal is. In veel contexten wordt ook geschreven als f(x) = c x^p, met c ≠ 0. Het exponent p bepaalt hoe sterk de functie groeit of daalt, terwijl de constante a de schaal van de functie bepaalt.

Het domein en de omzetting naar waarden hangen af van p. Bij niet-gehele exponenten geldt meestal x ≥ 0 om reële uitkomsten te verkrijgen; bij geheel p is f gedefinieerd op alle reële x. De afgeleide voor x > 0 is f'(x) = a p x^{p-1}, waardoor de functie stijgt als a p > 0 en daalt als a p < 0 (voor x > 0). De tweede afgeleide is f''(x) = a p (p-1) x^{p-2}, wat leidt tot convexiteit voor p > 1 en concaviteit voor 0 < p < 1; bij p < 0 kan het gedrag eveneens afhankelijk zijn van x.

Speciale gevallen zijn onder meer p = 0, waarbij f(x) = a een constante is; p = 1, waarbij f(x) = a x een lineaire functie is; en p = 2, een kwadratische machtfunctie. Voor positieve p groeit de functie bij toenemende x; voor negatieve p neemt de waarde af naarmate x groter wordt en ontleedt ze bij x → 0+ oneindig of naar plus/minoneindig afhankelijk van a.

Machtfuncties dienen als eenvoudige modellen voor schalingswetten en krijgen toepassing in diverse gebieden van de wiskunde en toegepaste vakgebieden, waaronder analyse, statistiek en informatica (bijvoorbeeld in tijdcomplexiteit notaties als O(n^p)).

Zie ook: monomiale functie, polynomial, exponentiële functie.