lognormaal

De lognormale verdeling, ook wel lognormale distributie genoemd, beschrijft een positieve kansverdeling van een variabele X > 0 waarvan de natuurlijke logaritme ln(X) normaal verdeeld is met de parameters mu en sigma (sigma > 0). Met Y = ln(X) ~ N(mu, sigma^2) heeft X een specifieke vorm die veel voorkomt bij multiplicatieve processen.

De kansdichtheidsfunctie van X is f_X(x) = (1 / (x sigma sqrt(2π))) exp(- (ln x - mu)^2 / (2 sigma^2)) voor x > 0. De cumulatieve verdelingsfunctie is F_X(x) = Φ((ln x - mu)/sigma), waarbij Φ de CDF van een standaardnormale verdeling is.

Belangrijke momenten: de mediaan van X is exp(mu), de verwachting E[X] = exp(mu + sigma^2/2) en de variantie Var(X) = (exp(sigma^2) - 1) exp(2 mu + sigma^2). X is altijd non-negatief en heeft een positieve scheefheid; naarmate sigma toeneemt, wordt de verdeling rechter schever.

Parameterisatie en schatting: mu en sigma zijn de parameters van de onderliggende normale verdeling ln(X). Voor een steekproef x_i wordt y_i = ln(x_i) berekend; mu en sigma worden geschat als respectievelijk het steekproefgemiddelde en de steekproefsstandarddeviatie van {y_i} (of via maximale waarschijnlijkheid).

Toepassingen: de lognormale verdeling wordt veel gebruikt bij modellering van niet-negatieve, scheve data, zoals aandelenkoersen onder geometrische Brownse beweging, inkomens- en financiële gegevens, hydrologische waarden en betrouwbaarheid van systemen. De relatie met de normale verdeling is: X is lognormaal wanneer ln(X) normaal is.