Parameterisatie

Parameterisatie is het proces waarbij een geometrisch object wordt voorgesteld door een parameterfunctie. Gewoonlijk wordt een parameterisatie geschreven als γ: I → S, waarbij I een interval in het reële getallen is en γ(t) een punt van S oplevert. Op deze manier beschrijft γ(t) alle punten van het object. Parameterisaties kunnen continu, differentieerbaar of analytisch zijn en leveren zo een werkbaar raamwerk om vormen te analyseren via de parameterwaarde t.

Voor lijnen en krommen is vaak een eenvoudige vorm: een rechte lijn door A en B kan worden geschreven als L(t) = A + t(B − A), met t in [0,1]. Een cirkel met middelpunt C en straal r kan worden gegeven door C(t) = C + r( cos t, sin t ) voor t in [0, 2π). Voor oppervlakken geldt een parameterisatie als φ: U ⊂ R^2 → S ⊂ R^3, waarbij elk (u,v) uit U een punt op S oplevert. Parameterisaties zijn meestal niet uniek: verschillende parameterisaties kunnen hetzelfde object beschrijven via een monotone bijectieve transformatie van de parameter.

Belangrijke eigenschappen zijn regulariteit en snelheid. Een parameterisatie γ is regelmatig als γ'(t) ≠ 0. Een arc-lengteparameterisatie heeft ||γ'(t)|| = 1, zodat de parameter langs het object evenredig met de omtrek of lengte vordert. Reparameterisatie houdt in dat men t vervangt door s = ψ(t) met ψ strictly increasing; dit verandert de manier waarop het object wordt getoond maar niet de geometrische locus.

Toepassingen van parameterisatie zijn talrijk. Ze worden gebruikt in meetkunde en differentiële meetkunde om krommen en oppervlakken te bestuderen, in computer graphics en CAD om objecten te modelleren en te renderen, en in numerieke integratie en eindige-elementenmethode om integralen over vormen te berekenen. Het begrip parameterisatie is een fundament bij het analyseren en modelleren van vormen.