integralen

Integralen zijn een fundamenteel concept in de wiskunde, met name in de analyse. Ze komen in twee hoofdvormen voor: onbepaalde integralen en bepaalde integralen. Een onbepaalde integraal van een functie f(x) is een antiderivative F(x) waarvoor F'(x) = f(x); de notatie is ∫ f(x) dx = F(x) + C, waarbij C een integratieconstante is. Een bepaalde integraal ∫_a^b f(x) dx berekent de netto opgetelde waarde van f over het interval [a,b], bijvoorbeeld de oppervlakte onder de kromme y = f(x) tussen a en b, en wordt gegeven door F(b) − F(a) als F een antiderivative van f is.

Er bestaan verschillende definities van integratie. De Riemann-integratie definieert de integraal als de limiet van sommen over steeds fijner verdeelde intervallen. In bredere zin bestaan Lebesgue-integratie en andere theoretische uitbreidingen die beter werken bij functies met scheve of onregelmatige verdelingen. Ook onbeperkte integralen en integralen met oneindige grenzen worden bepaald als limieten en vereisen convergentie. Het begrip wordt verder uitgebreid met meten en functieverdeling, wat leidt tot algemene integralen voor bredere functies.

Technieken: integreren kan worden uitgevoerd met substitutie (u-substitutie), integrare door parts (productregel), deelbreking (breuken in gedeeltelijke fractionering), trigonometrische substitutie en andere methoden. Sommige integralen hebben geen primitieve in elementaire functies, waarna numerieke methoden nodig zijn (bijv. trapregel, Simpsons regel) of speciale functies.

Toepassingen van integralen zijn talrijk: berekenen van opstanden en volumes door schillen- of schijfmethoden, arbeid en overgangen in de natuurkunde, waarschijnlijkheidsmodellen en verwachtingswaarden in de statistiek, en economische berekeningen. De theorie ontstond in de zeventiende eeuw door Newton en Leibniz en vormt de kern van de fundamenten van calculus: differentiatie en integratie zijn inverse processen.