limietoperaties

Limietoperaties zijn regels en technieken om limieten van functies en reeksen te bepalen. Een limiet beschrijft het gedrag van een functie f als de invoer x nadert tot een afgesproken punt a (of naar oneindigheid). Limieten vormen de basis voor continuïteit, analyse en differentiaal- en integraalrekening.

Veel gebruikte regels gelden wanneer limieten bestaan. De som, het product en de kwotient van functies kunnen worden afgeleid uit de limieten van de afzonderlijke functies: lim(f+g) = lim f + lim g, lim(f·g) = lim f · lim g, en lim(f/g) = lim f / lim g zolang lim g ≠ 0. Ook geldt lim(f∘g) = f(lim g) onder de juiste voorwaarden, en lim c = c voor een constante. Een limiet kan bestaan als f(x) naar een vast getal convergeert; als x naar a gaat, hablamos van lim_{x→a} f(x). Limieten kunnen eveneens naar oneindigheid divergeren, bijvoorbeeld lim_{x→a} f(x) = ∞ of lim_{x→∞} f(x) = -∞.

Veelgebruikte technieken omvatten directe substitutie bij continu functies, factoriseren, gemeenschappelijke noemer verwijderen, en gebruik van de squeezenstelling bij grenzen die tussen twee kwantiteiten blijven. Bij onzekere vormen zoals 0/0 of ∞/∞ komen vaak L'Hôpital’s regel, algebraïsche manipulaties of seriesuitbreidingen uitkomst bieden. Indirecte methoden en convergentiebenaderingen spelen vooral bij functies of reeksen een rol, zoals de toetsing van limieten via monotone of gedomineerde convergentie.

Een limiet bestaat niet altijd; wanneer een limiet bestaat en gelijk is aan f(a), is f continu op a. Limietoperaties zijn daarmee een fundamenteel hulpmiddel bij het begrijpen van lokaal gedrag en asymptotisch gedrag van functies.

---