divergeren

Divergeren is een wiskundig begrip dat aangeeft dat een uitdrukking geen eindwaarde heeft bij het nemen van de limiet naar oneindigheid. Het komt voor bij reeksen (volgorde van getallen) en bij functies, maar ook bij bredere processen die naar oneindig evolueren.

Bij reeksen divergeert een getallenreeks a_n als de limiet lim_{n→∞} a_n niet bestaat of oneindig is. Als de limiet bestaat en eindig, spreken we van convergentie. Een reeks kan ook divergeren als de som ∑ a_n geen eindlimiet heeft. Volgens de nth-term test divergeert de reeks wanneer lim a_n ≠ 0.

Voorbeelden: de reeks a_n = (-1)^n divergeert door oscillatie; de reeks a_n = n divergeert naar plus oneindig; de reeks ∑ 1/n divergeert; de reeks ∑ (-1)^{n+1}/n convergeert wel (conditioneel).

Tests en criteria: Er bestaan diverse toetsen om convergentie of divergentie vast te stellen. De divergentie-nth-term test stelt dat als lim a_n ≠ 0, ∑ a_n divergeert. Naast deze test bestaan er andere criteria zoals de verhoudingstest, de worteltest en de vergelijkingstesten; meestal helpen die bij het aantonen van convergentie. Als geen van deze toetsen definitief concluderend is, kan de reeks alsnog divergeren.

Interessante verwantschappen: In de vectoranalyse verwijst divergentie naar een gerelateerd maar verwant begrip: de divergence van een vectorveld F is div F = ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z, wat een maat geeft voor de netto uitstroming van een veld en centraal staat in de Gauss/Divergentie-stelling.