kostfuncties

Een kostfunctie is een wiskundige functie die een kostenwaarde toekent aan een keuze, toestand of uitkomst. Ze komt voor in wiskundige optimalisatie, economie, operations research, engineering en machine learning. In algemene termen geeft een kostfunctie c(x) de opbrengst of het nadeel van een beslissing x weer.

Formeel is een kostfunctie doorgaans een functie c: D -> R, waarbij D het haalbaarheidsgebied is. Het doel is vaak om c(x) te minimaliseren, eventueel onder randvoorwaarden zoals g_i(x) ≤ 0 of h_j(x) = 0. In sommige contexten kan men ook kosten maximaliseren door negatieve kosten te minimaliseren. De variabele x vertegenwoordigt meestal beslissingen zoals hoeveelheden, activiteiten of instellingen.

Eigenschappen van kostfuncties zijn bepalend voor de oplossingsmethode. Convexiteit is wenselijk omdat(convexe) kostfuncties een uniek globaal minimum hebben en grensvoorwaarden eenvoudiger te hanteren zijn. Differentiabiliteit maakt gradiënt- of Newton-methoden mogelijk; niet-differentiabele functies kunnen via subgradienten aangepakt worden. Kostfuncties kunnen lineair, kwadratisch, piecewise-linear of niet-lineair zijn, en ze kunnen afhankelijk zijn van meerdere variabelen en tijd.

Voorbeelden: een lineaire kostfunctie c(x) = a^T x + b; een kwadratische kostfunctie c(x) = x^T Q x + b^T x + c met Q positief semidefiniet; een stuk-voor-stuk lineaire kostfunctie zoals c(x) = max{0, a^T x - d} + sprake van vaste kosten. In machine learning dienen kostfuncties vaak als verliesfuncties, die de afwijking tussen voorspellingen en waarnemingen meten.

Relatie tot besluitvorming: kostfuncties modelleren de prijs of het nadeel van een beslissing of toestand en vormen samen met beperkingen de basis voor het vinden van optimale oplossingen. Bij dynamische systemen spreken we soms van kosten- of objective functies in optimalisatie- en leerproblemen.