nietlineair

Nietlineair (vaak geschreven als niet-lineair) is een term uit wiskunde en aanverwante vakgebieden die verwijst naar relaties of systemen waarin de uitgang geen lineaire functie is van de ingang. In een lineair model geldt de superpositie: verdubbeling van de input levert verdubbeling van de output, en gecombineerde inputs leveren de som van de afzonderlijke reacties. Bij nietlineaire systemen geldt dit niet; kleine veranderingen in beginvoorwaarden kunnen grote, onvoorspelbare effecten veroorzaken.

Kenmerken: niet-lineaire systemen kunnen meerdere oplossingen of equilibria hebben, reageren anders op schaalverkleining, en tonen vaak complex gedrag zoals bifurcatie en chaos. Termen zoals kwadratisch, product- of exponentieel gedrag dragen bij aan nonlineaire relaties.

Voorbeelden: algebraïsche nietlineariteiten zoals y = x^2; producttermen zoals y = ax + bxy; discretieuze modellen zoals de logistieke kaart x_{n+1} = r x_n (1 - x_n) die chaotisch gedrag vertonen voor bepaalde r. In continue systemen leiden nietlineaire differentiaalvergelijkingen vaak tot complex voortgaand gedrag.

Toepassingen: niet-lineaire modellen zijn wijdverbreid in natuurkunde (niet-lineaire optica, veldentheorie), mechanica, elektrotechniek en systemen en controles. In economie en biologie helpen ze bij het modelleren van realistische afhankelijkheden die niet door lineaire relaties worden beschreven.

Oplossen en analyseren: niet-lineaire problemen vereisen vaak numerieke methoden; exacte oplossingen bestaan zelden. Methoden omvatten numerieke integratie (bijv. Runge-Kutta), iteratieve oplossingsmethoden, en linearisatie of perturbatie rond een evenwicht. Het bestuderen van nietlineariteit levert inzichten op in dynamiek, bifurcatie en chaos.

Zie ook: lineair, dynamische systemen, chaos, nietlineaire optimalisatie, differentiaalvergelijking.