adjointmethode

De adjointmethode is een wiskundige techniek die wordt gebruikt om de gradiënten van een doelstelling met betrekking tot parameters van een systeem, beschreven door differentiaalvergelijkingen (PDE’s of ODE’s), efficiënt te berekenen. Door het formuleren van een adjointprobleem kan men sensitiviteiten bepalen met aanzienlijk minder rekenkosten dan bij meervoudige finite-differenceberekeningen. De methode wordt toegepast in diverse vakgebieden waar optimalisatie en sensitiviteitsanalyse centraal staan.

Het idee is als volgt: neem een forward-model F(u,p)=0 met oplossing u en een doelstelling J(u,p). Definieer de Lagrangische functie L(u,p,λ) = J(u,p) + λ^T F(u,p). Door de variaties met betrekking tot u af te leiden, verkrijgt men het adjointprobleem: een PDE voor λ die afhangt van de linearisatie van F. Een forward-oplossing u en een adjointoplossing λ maken het mogelijk om de gradiënt van J met betrekking tot p te verkrijgen via een uitdrukking die λ en ∂F/∂p bevat. Met één forward- en één adjointoplossing per optimalisatie-stap kunnen vele parameters efficiënt worden gesensitiviseerd.

Toepassingen variëren van computational fluid dynamics en structurele optimalisatie tot geofysische inversie, meteorologie en elektromagnetische simulaties. Men onderscheidt doorgaans de continue adjointmethode en de discrete adjointmethode: bij de continue versie wordt de adjoint-PDE op continu niveau afgeleid en daarna gediscretiseerd, bij de discrete versie wordt de adjoint direct uit de discretisering van het forward-model gehaald.

Voordelen zijn onder meer een forse vermindering van rekentijd bij veel parameters en grote efficiëntie bij gradient-based optimalisatie. Beperkingen zijn onder meer differentiabiliteitseisen, complexiteit van implementatie en geheugenbehoefte voor tijdafhankelijke problemen, waarvoor vaak checkpointing wordt toegepast. De methode is een hoeksteen in simulatie-gebaseerde optimalisatie en berekening van sensitiviteiten.