discretisering

Discretisering is het proces waarbij een continu probleem, bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking gedefinieerd op een continu domein, wordt vervangen door een discrete versie die door een computer kan worden opgelost. Het doel is een analytisch onoplosbaar model om te zetten in een eindig probleem dat met numerieke methoden kan worden berekend. Dit gebeurt door het domein op te splitsen in een eindig aantal punten, cellen of elementen en door continue operatoren te vervangen door discrete operaties.

Er zijn twee hoofdtypen discretisatie: ruimtelijke en temporele discretisatie. Ruimtelijke discretisatie legt een mesh of grid aan over het domein, zodat ruimte-afhankelijke grootheden alleen op discrete punten of elementen bestaan. Temporale discretisatie bepaalt tijdstappen in tijdsafhankelijke problemen, waardoor de oplossing stap voor stap kan worden voortbewogen.

Belangrijke discretisatiemethoden zijn onder meer de finite difference method (FDM), finite element method (FEM), finite volume method (FVM) en, in sommige toepassingen, spectral methods. FDM benadert afgeleiden met verschilquotienten op een rooster. FEM werkt met variatieproblemen en maakt gebruik van een mesh en basisfuncties. FVM behoudt conservatieprincipes op het discrete niveau. Spectral methods bereiken hoge orde door globale basisfuncties te gebruiken.

Discretisatie introduceert fouten die samenhangen met de stapgrootte en de gekozen methode, de discretiefout. Naarmate de discretisatie fijner wordt, verbetert de nauwkeurigheid (convergentie), maar de rekenkosten stijgen. Voor tijdsafhankelijke problemen is stabiliteit bepalend; bijvoorbeeld CFL-condities geven voorwaarden voor een stabiele tijdstap.

Toepassingen bevinden zich in natuur- en technische vakgebieden bij het oplossen van PDE’s en ODE’s, simulaties, berekeningen van integralen en modellering in engineering, natuurkunde en computational science. Ontwerpkeuzes zoals meshkwaliteit en adaptieve discretisatie beïnvloeden nauwkeurigheid en rekentijd.