verschilquotienten

Verschilquotienten is een begrip uit de wiskunde, vooral in de calculus, dat de gemiddelde verandering van een functie meet over een klein interval. Voor een punt x en een niet-nul stap h is het verschilquotient vaak geschreven als D_h f(x) = (f(x+h) - f(x)) / h. Dit berekent de helling van de rechte die de punten (x, f(x)) en (x+h, f(x+h)) met elkaar verbindt.

De verschilquotient ligt ten grondslag aan de afgeleide. Als de limiet van D_h f(x) bestaat wanneer h nadert tot 0, dan bestaat f'(x) en is f'(x) gelijk aan die limiet. Zo definieert men de afgeleide als de infinitesimaal veranderingssnelheid van f op x.

Er bestaan verschillende varianten van de verschilquotient:

- Forward difference quotient: (f(x+h) - f(x)) / h.

- Backward difference quotient: (f(x) - f(x-h)) / h.

- Centrale verschilquotient: (f(x+h) - f(x-h)) / (2h).

Forward- en backwardquotienten geven vaak een eerste-orde benadering, centrale quotienten een tweede-orde nauwkeurigheid.

In numerieke differentiatie worden verschilquotienten gebruikt om de afgeleide te schatten wanneer analoge afleiding niet mogelijk is. Uit de Taylor-reeks volgt bijvoorbeeld f(x+h) = f(x) + f'(x) h + (f''(ξ)/2) h^2. Daardoor geldt D_h f(x) = f'(x) + (f''(x)/2) h + O(h^2), wat aangeeft dat de fout afhangt van h. Voor centrale verschilquotienten is de fout O(h^2), wat meestal nauwkeuriger is dan bij forward of backward quotienten.

Toepassingen zijn onder meer het bepalen van afgeleiden, het schatten van snelheden en fluxen in numerieke methoden, en het analyseren van veranderingssnelheden in diverse vakgebieden.