variatieproblemen

Variatieproblemen zijn wiskundige problemen waarbij men zoekt naar een functie die een bepaalde functionaal minimaliseert of maximaliseert. Een functionaal geeft een getal terug op basis van de onbekende functie, meestal via een integraal over een domein. Een veel voorkomende vorm is J[y] = ∫_a^b L(x, y(x), y'(x)) dx, met randvoorwaarden zoals y(a)=α en y(b)=β. Het doel is een functie y te vinden die J[y] minimaaliseert (of maximaliseert). Oplossingen voldoen aan de Euler–Lagrange-vergelijking: d/dx ∂L/∂y' − ∂L/∂y = 0. Bij complexere problemen kunnen extra constrains gelden; de tweede variatie helpt bij het onderscheiden van minima, maxima en zeldzame extremen.

Historisch gezien ontstonden variatieprincipes in de 18e eeuw door de arbeid van Euler en Lagrange en vormen zij de wiskundige basis van het principe van minste actie in mechanica, maar ook in andere natuurwetenschappen en wiskunde. Het vakgebied verbindt calculus of variations met geometrische en fysische ideeën zoals geodesieën en minimal surfaces.

Methoden om variatieproblemen op te lossen variëren van analytische tot numerieke benaderingen. Analytisch wordt doorgaans gewerkt met de Euler–Lagrange-vergelijking en randvoorwaarden, eventueel via de studie van de tweede variatie. Numeriek komen discretisatie en optimalisatie-algoritmes naar voren, zoals eindige-verschil- of eindige-elementenmethode, en oplossingsmethoden voor niet-lineaire optimalisatie.

Toepassingen zijn onder meer natuurkunde (actieprincipes en veldtheorieën), wiskunde (geodesieën, minimale oppervlakken), engineering en ontwerpoptimalisatie, beeldverwerking en economische/Dynamische systemen via in bredere zin optimaliteitsvragen. Bekende voorbeelden zijn het brachistochroonprobleem en het zoeken van geodesieën of minimale oppervlakken.