Lebesgueintegreerbaar

Lebesgueintegreerbaar, in het Nederlands vaak geschreven als Lebesgue-integreerbaar, verwijst naar de eigenschap van een meetbare functie f op een meetruimte (X, Σ, μ) dat de Lebesgue-integraal van de absolute waarde eindig is: ∫_X |f| dμ < ∞. Functies met deze eigenschap vormen de L^1(μ)-ruimte.

Een functie f is Lebesgueintegreerbaar wanneer zij meetbaar is en de integraal van |f| beperkt is. In dat geval bestaat ook de integraal van f, en kan deze worden uitgedrukt als ∫ f = ∫ f+ − ∫ f−, waarbij f+ = max(f, 0) en f− = max(−f, 0), en beide onderdelen eindig zijn. Dit garandeert dat f zowel de positieve als de negatieve bijdrage in evenwicht brengt en de totale grootte beperkt is.

Kernpunten zijn: L^1 is een vectorruimte en een Banach-ruimte onder de norm ∥f∥_1 = ∫ |f| dμ. Two functies die gelijk zijn bijna overal vertegenwoordigen dezelfde L^1-klasse. Eigenschappen zoals lineariteit van de integraal en convergeertheorema’s (Dominated Convergence Theorem, Monotone Convergence Theorem) gelden voor Lebesgueintegreerbare functies, wat van belang is bij limieten en limietprocessen.

Voorbeelden zijn onder meer de indicatorfunctie van een set met eindige μ-measure, die in L^1 ligt met ∥1_A∥_1 = μ(A). Een decayerende functie zoals f(x) = 1/(1+x^2) op het gehele R behoort tot L^1(R). Een functie als f(x) = 1/x op (0,1] is niet Lebesgueintegreerbaar omdat ∫_0^1 |1/x| dx divergeert.

In de praktijk geeft Lebesgueintegreerbaar zijn een formele basis voor het bepalen van integralen, normen en convergie-gedrag in analyse.