Fluxfunktionen

Fluxfunktionen bezeichnet in der Mathematik und Physik skalare Funktionen, die den Fluss eines Vektorfeldes durch Oberflächen oder entlang von Kurven kapseln. Sie dienen dazu, Flussmuster zu beschreiben und Flussunterschiede zwischen benachbarten Kurven oder Flächen zu quantifizieren. Fluxfunktionen treten in verschiedenen Zusammenhängen auf, insbesondere in der Zweidimensionalität bei Strömungsfeldern und in der Achsenymmetricen Geometrie magnetischer Felder.

In zweidimensionalen, inkompressiblen Strömungen existiert häufig eine Strömungsfunktion ψ (stream function). Die Feldkomponenten lassen sich durch F = (u, v) als u = ∂ψ/∂y, v = -∂ψ/∂x ausdrücken, sodass die Levelkurven ψ = const Streamlines darstellen. Der Unterschied von ψ-Werten zwischen zwei Streamlines entspricht der Portionalität des durch das betrachtete Gebiet hindurchgehenden Flusses. Die Existenz von ψ erfordert die Divergenzfreiheit des Feldes (∇·F = 0); umgekehrt ergibt sich aus einer gegebenen ψ das Feld F durch F = ∇⊥ψ, wobei ∇⊥ψ = (∂ψ/∂y, -∂ψ/∂x).

In der Achsen-symmetrischen Geometrie der Magnetohydrodynamik (z. B. tokamaks) beschreibt eine polare Fluxfunktion ψ(R,z) die magnetischen Feldlinien. Die level lines ψ = const bilden magnetische Oberflächen, durch die der polare Magnetfluss bestimmt wird. Fluxfunktionen erlauben, Flüsse durch Oberflächen zu berechnen, weil der Fluss durch eine Fläche mit const ψ oft proportional zu Δψ ist.

Wesentliche Eigenschaften umfassen die Nicht-Eindeutigkeit; eine Fluxfunktion ist bis auf additive Konstanten eindeutig. Die Existenz erfordert geeignete Randbedingungen und, im 2D-Fall, ∇·F = 0. Anwendungen finden sich in Fluiddynamik, Plasmaphysik, Geophysik und Elektromagnetismus. See also: Divergenz, Fluss, Strömungsfunktion, polare Flussfunktion.