Fluxfunktion

Fluxfunktion

Die Fluxfunktion bezeichnet in der Mathematik und Physik den Fluss einer Erhaltungsgröße durch eine räumliche Grenze. In einer eindimensionalen Erhaltungsgleichung hat sie die Form

∂u/∂t + ∂f(u)/∂x = 0,

wobei u die Erhaltungsgröße darstellt und f(u) der zugehörige Fluss ist. In Systemen von Erhaltungsgleichungen lautet die Schreibweise

∂U/∂t + ∂F(U)/∂x = 0,

wobei U ein Vektor von Größen ist und F(U) der zugehörige Flussvektor.

Eigenschaften und Bedeutung: Die Form der Fluxfunktion hängt von der konkreten Anwendung ab. Sie kann glatt oder stückweise glatt sein und besitzt oft wichtige strukturelle Eigenschaften wie Monotonie oder Krümmung. Die Ableitung f′(u) liefert die Charakteristiken der Gleichung und damit die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Störungen. Konvexität oder Konkavität von f beeinflusst, ob sich Stoßwellen oder Rarefaktionen bilden.

Typische Beispiele: Die Burgers-Gleichung nutzt f(u) = u²/2, eine einfache Modellierung verstärkter Nichtlinearität. Im Verkehrsfluss ergibt das Lighthill-Whitham-Richards-Modell (LWR) für die Dichte ρ den Fluss f(ρ) = ρ v_max (1 − ρ/ρ_max), welcher eine konkave Flussannahme darstellt. Lineare Modelle verwenden f(u) = c u, bei denen sich Wellen mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.

Anwendungen: Fluxfunktionen spielen eine zentrale Rolle in der Theorie hyperbolischer PDEs, bei der Formulierung physikalischer Modelle und in numerischen Verfahren wie Godunov-Methoden, bei denen die Lösung von Riemannproblemen und der Flussaufteilung eine zentrale Rolle hat.

Zusammenfassung: Die Fluxfunktion verbindet Erhaltungsgröße mit dem räumlichen Fluss und bestimmt maßgeblich die Dynamik, Grenzzustände und numerische Behandlung von Erhaltungsgesetzen.